Question

(本小題滿分14分) 已知函數在處取得極值。
（Ⅰ）求函數的解析式；
（Ⅱ）求證：對于區間上任意兩個自變量的值，都有；
（Ⅲ）若過點可作曲線的三條切線，求實數的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ），依題意，，………1分
即，解得     …………………3分
經檢驗符合。
（Ⅱ）
當時，，故在區間上為減函數，
                    ……………………5分
∵對于區間上任意兩個自變量的值，
都有
       …………………………7分
（Ⅲ），
∵曲線方程為，∴點不在曲線上，
設切點為M(x₀,y₀)，則點M的坐標滿足。
因，故切線的斜率為，
整理得。
∵過點A(1,m)可作曲線的三條切線，
∴關于的方程有三個實根。……………9分
設，則，

解析