Question

已知橢圓C：＝1，過點M(2，0)且斜率不為0的直線交橢圓C于A，B兩點．在x軸上若存在定點P，使PM平分∠APB，則P的坐標為________．

 

Answer 1

【解析】設A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為x＝my＋2.將直線AB的方程與橢圓C的方程聯立，消去x得(4m2＋9)y2＋16my－20＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝.

若PM平分∠APB，則直線PA，PB的傾斜角互補，所以kPA＋kPB＝0.設P(a，0)，則有＋＝0，將x1＝my1＋2，x2＝my2＋2代入上式，整理得＝0，

所以2my1y2＋(2－a)(y1＋y2)＝0.將y1＋y2＝，y1y2＝代入上式，整理得(－2a＋9)·m＝0.由于上式對任意實數m都成立，所以a＝.

綜上，x軸上存在定點P，使PM平分∠APB.