Question

已知橢圓與雙曲線x2－y2＝0有相同的焦點，且離心率為.

(1)求橢圓的標準方程；

(2)過點P(0，1)的直線與該橢圓交于A，B兩點，O為坐標原點，若＝2，求△AOB的面積．

 

Answer 1

（1）＝1（2）

【解析】(1)設橢圓方程為＝1，a>b>0，

由c＝，＝，可得a＝2，b2＝a2－c2＝2，

所以橢圓的標準方程為＝1.

(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由＝2，得可得x1＝－2x2.①

設過點P的直線方程為y＝kx＋1，代入橢圓方程，整理得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0，

則x1＋x2＝－，②x1x2＝，③

由①②得x2＝，將x1＝－2x2代入③得＝，

所以＝，解得k2＝.

又△AOB的面積S＝|OP|·|x1－x2|＝·＝.所以△AOB的面積是.