Question

已知函數f（x）=ax3-

3

2

ax2，函數g（x）=3（x-1）²．
（1）當a＞0時，求f（x）和g（x）的公共單調區間；
（2）當a＞2時，求函數h（x）=f（x）-g（x）的極小值；
（3）討論方程f（x）=g（x）的解的個數．

Answer 1

分析：（1）分別求導函數，令導數大于0，可得單調遞增區間；令導數小于0，可得單調遞減區間；
（2）h（x）=ax3-

3

2

ax2-3（x-1）²．h′（x）=3ax²-3（a+2）x+6=3a（x-

2

a

）（x-1），可求h（x）的極小值為h（1）=-

a

2

，
（3）只需考察h（x）=f（x）-g（x）的圖象與x軸交點個數即可．需求出h（x）極值，利用極值的正負情況，根據圖象解得．

解答：解：（1）f′（x）=3ax²-3ax=3ax（x-1），a＞0時，由f′（x）＞0，得x＜0或x＞1，由f′（x）＜0，得0＜x＜1，
所以f（x）的單調遞增區間是（-∞，0），和（1，+∞），單調遞減區間是（0，1）．而函數g（x）的單調遞增區間是（1，+∞），單調遞減區間是（0，1）．所以兩個函數的公共單調遞增區間是（1，+∞），公共單調遞減區間是（0，1）．
（2）h（x）=ax3-

3

2

ax2-3（x-1）²．
h′（x）=3ax²-3（a+2）x+6=3a（x-

2

a

）（x-1），
令h′（x）=0，得x=

2

a

，或x=1，由于

2

a

＜1，
易知x=1為h（x）的極小值點，
所以h（x）的極小值為h（1）=-

a

2

，
（3）由（2）h（x）=ax3-

3

2

ax2-3（x-1）²．h′（x）=3ax²-3（a+2）x+6=3a（x-

2

a

）（x-1），
①若a=0，則h（x）=-3（x-1）²．h（x）的圖象與x軸只有一個交點，即方程f（x）=g（x）只有一個解．
②若a＜0，則h（x）的極大值為h（1）=-

a

2

，h（x）的極小值為h（

2

a

）=-

4

a2

+

6

a

-3＜0，h（x）的圖象與x軸有三個交點，即方程f（x）=g（x）有三個解．
③若0＜a＜2，則h（x）的極大值為h（1）=-

a

2

＜0，h（x）的圖象與x軸只有一個交點，即方程f（x）=g（x）只有一個解．
④若a=2，則h′（x）=6（x-1）²≥0，h（x）單調遞增，h（x）的圖象與x軸只有一個交點，即方程f（x）=g（x）只有一個解．
⑤若a＞2，則由（2）知，h（x）的極大值為h（

2

a

）=-4(

1

a

-

3

4

)2-

3

4

＜0，h（x）的圖象與x軸只有一個交點，即方程f（x）=g（x）只有一個解．
綜上所述，當a≥0，方程f（x）=g（x）只有一個解．若a＜0，方程f（x）=g（x）有三個解．

點評：本題考查函數單調性與極值，數形結合的思想方法，考察計算、分類討論等方法和能力．