Question

如圖，矩形ABCD中，|AB|＝2，|BC|＝2．E，F，G，H分別是矩形四條邊的中點，分別以HF，EG所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系，已知＝λ，＝λ，其中0＜λ＜1．

（1）求證：直線ER與GR′的交點M在橢圓Γ：＋y²＝1上；
（2）若點N是直線l：y＝x＋2上且不在坐標軸上的任意一點，F₁、F₂分別為橢圓Γ的左、右焦點，直線NF₁和NF₂與橢圓Γ的交點分別為P、Q和S、T．是否存在點N，使得直線OP、OQ、OS、OT的斜率k_OP、k_OQ、k_OS、k_OT滿足k_OP＋k_OQ＋k_OS＋k_OT＝0？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）見解析（2）滿足條件的點N存在，其坐標為

試題分析：根據條件，可用參數表示點的坐標，兩點式寫出直線的方程，并求出它們的交點的坐標，消去參數即可得證.（2）假設存在點在直線上，使,
設， ，, ， 直線的斜率為，直線的斜率為 ，可寫出兩直線的方程，并分別與橢圓方程聯立組成方程級，利用一元二次方程根與系數的關系，結合條件探究與的關系，從而確定關于的方程的根的存在性，也就是點的存在性.
試題解析：（1）由已知，得F(，0)，C(，1)．
由＝λ，＝λ，得R(λ，0)，R′(，1－λ)．
又E(0，－1)，G(0，1)，則
直線ER的方程為y＝x－1，      ①
直線GR′的方程為y＝－x＋1．     ②
由①②，得M(，)．
∵＋()²＝＝＝1，
∴直線ER與GR′的交點M在橢圓Γ：＋y²＝1上．          5分
（2）假設滿足條件的點N(x₀，y₀)存在，則
直線NF₁的方程為y＝k₁(x＋1)，其中k₁＝，
直線NF₂的方程為y＝k₂(x－1)，其中k₂＝．
由消去y并化簡，得(2k₁²＋1)x²＋4k₁²x＋2k₁²－2＝0．
設P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，則x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝．
∵OP，OQ的斜率存在，∴x₁≠0，x₂≠0，∴k₁²≠1．
∴k_OP＋k_OQ＝＋＝＋＝2k₁＋k₁·＝k₁(2－)＝－．
同理可得k_OS＋k_OT＝－．
∴k_OP＋k_OQ＋k_OS＋k_OT＝－2(＋)＝－2·＝－．
∵k_OP＋k_OQ＋k_OS＋k_OT＝0，∴－＝0，即(k₁＋k₂)(k₁k₂－1)＝0．
由點N不在坐標軸上，知k₁＋k₂≠0，
∴k₁k₂＝1，即·＝1．     ③
又y₀＝x₀＋2，                     ④
解③④，得x₀＝－，y₀＝．
故滿足條件的點N存在，其坐標為（－，）．            13分