Question

【題目】已知函數．

（1）討論的單調性；

（2）若函數有兩個零點，求證：．

Answer 1

【答案】（1）的增區間是，減區間是；（2）證明見解析

【解析】

（1）先求得導函數，由求得極值點，對分類討論，即可得出單調性和單調區間．

（2）由（1）知，有兩個零點時，則最小值 ，利用換元法令，，即，可知為方程的兩個根．構造函數，則為的兩個零點，且滿足．可得．構造函數，利用導數研究函數的單調性即可證明。

（1）對函數求導可得，令，得

①當時，若則，即

若，則，即．

②當時，若，則，即

若，則，即．

綜上，的單調遞增區間是，單調遞減區間是．

（2）證明：由（1）知，有兩個零點時，

∴．

令，

則

∴為方程的兩個根．

令，則為的兩個零點，．

∴

令，則．

∴在上單調遞增

∴

∴，即．

∵

∴當時，單調遞增．

∵

∴

∴

∴