Question

若函數(shù)f（x）=a^x（a＞0，a≠1）在[-1，2]上的最大值為4，最小值為m，且函數(shù)g(x)=(1-4m)

x

在[0，+∞）上是增函數(shù)，則a=（　　）

• A．

  1

  4

• B．

  1

  3

• C．

  1

  2

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：利用函數(shù)f（x）的最大值為4，先確定a的值，然后利用函數(shù)g(x)=(1-4m)

x

在[0，+∞）上是增函數(shù)，確定a即可．

解答：解：①若a＞1，則函數(shù)f（x）=a^x（a＞0，a≠1）在[-1，2]上單調(diào)遞增，
則由f（2）=4，得a²=4，解得a=2．此時(shí)最小值m=f（-1）=2-1=

1

2

．
②若0＜a＜1，則函數(shù)f（x）=a^x（a＞0，a≠1）在[-1，2]上單調(diào)遞減，
則由f（-1）=4，得a^-1=4，解得a=

1

4

．此時(shí)最小值m=f（2）=（

1

4

） 2=

1

16

．
∴m=

1

2

或

1

16

．
∵函數(shù)g(x)=(1-4m)

x

在[0，+∞）上是增函數(shù)，
∴1-4m＞0，解得m＜

1

4

．
綜上：m=

1

16

，此時(shí)a=

1

4

．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性，注意對(duì)底數(shù)a要進(jìn)行分類討論．