Question

（理）設α∈（0，π），函數f（x）的定義域為[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，對定義域內任意的x，y，滿足f（

x+y

2

）=f（x）sinα+（1-sinα）f（y）．
（1）試用α表示f（

1

2

），并在f（

1

2

）時求出α的值；
（2）試用α表示f（

1

4

），并求出α的值；
（3）n∈N時，a_n=

1

2n

，求f（a_n），并猜測x∈[0，1]時，f（x）的表達式．
（文）已知向量

OA

=(3，-4)，

OB

=(6，-3)，

OC

=（5-m，-3-m）
（1）若點A、B、C不能構成三角形，求實數m應滿足的條件．
（2）若△ABC為直角三角形，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（理）（1）分別取x=1，y=0與x=0，y=1，確定f（

1

2

），從而求出sinα的值，以及α的值；
（2）分別取x=

1

2

，y=0與x=0，y=

1

2

，求出f（

1

4

）的值以及α的值即可．
（3）根據條件可得f（a_n）是首項為f（a₁）=

1

2

，公比為

1

2

的等比數列，即可猜測：f（x）=x．
（文）（1）由若點A、B、C不能構成三角形，則三點共線，求出

AB

，

AC

，由向量的共線知識知：3（1-m）=2-m，從而求得m的值．
（2）分別討論∠A，∠B，∠C=90°的情況，然后根據垂直的向量數量積為0，求得m的值即可．

解答：（理）解：（1）f（

1

2

）=f（1）sinα+（1-sinα）f（0）=sinα，…．（1分）
又：f（

1

2

）=f（0）sinα+（1-sinα）f（1）=1-sinα，
∴sinα=1-sinα
則sinα=

1

2

∵α∈(0，π)∴α=

π

6

或

5π

6

…．（3分）
（2）令x=

1

2

，y=0，f（

1

4

）=f（

1

2

）sinα=sin²α
令x=0，y=

1

2

，f（

1

4

）=（1-sinα）f（

1

2

）=-sin²α+sinα
∴sinα=0或sinα=

1

2

∵α∈（0，π），∴α=

π

6

或

5π

6

…．（10分）
（3）∵n∈N，a_n=

1

2n

，所以
f（a_n）=f（

1

2n

)=f(

1 2n-1 +0

2

)=

1

2

f(

1

2n-1

)=

1

2

f(an-1）（n∈N）…（11分）
因此f（a_n）是首項為f（a₁）=

1

2

，公比為

1

2

的等比數列    …（12分）
故f（a_n）=f（

1

2n

)=

1

2n

…（13分）．
猜測f（x）=x…（14分）．
（文）解：（1）已知向量

OA

=(3，-4)，

OB

=(6，-3)，

OC

=（5-m，-3-m），
若點A、B、C不能構成三角形，則這三點共線．             …（1分）
∵

AB

=(3，1)，

AC

=（2-m，1-m）…（3分）
故知3（1-m）=2-m                                   …（4分）
∴實數m=

1

2

時，滿足條件．…（5分）
（2）若△ABC為直角三角形，且
①∠A為直角，則

AB

⊥

AC

，∴3（2-m）+（1-m）=0，解得m=

7

4

…（7分）
②∠B為直角，

BC

=（-1-m，-m）則

AB

⊥

BC

，∴3（-1-m）-m=0，解得m=-

3

4

…（10分）
③∠C為直角，則

BC

⊥

AC

，∴（2-m）（-1-m）+（1-m）（-m）=0，解得m=

1± 5

2

…（13分）
綜上，m=

7

4

或m=-

3

4

或m=

1± 5

2

…（14分）

點評：本題主要考查了抽象函數的應用，以及數列與函數的綜合，向量的共線與垂直，向量的數量積運算，同時考查了計算能力，屬于中檔題．