Question

【題目】已知二次函數f（x）=ax2+bx（a，b為常數，且a≠0）滿足條件：f（x﹣1）=f（3﹣x）且方程f（x）=2x有兩個相等實數根 （Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在實數m，n（m＜n），使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[4m，4n]，如果存在，求出符合條件的所有m，n的值，如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（﹣x+3）=f（x﹣1），

∴對稱軸是x=1，

得到﹣ =1 ①

∵方程f（x）=2x有兩個相等的實數根，

即ax2+（b﹣2）x=0有兩個相等的實數根，

∴△=（b﹣2）2=0，∴b=2，代入①，

解得a=﹣1，

∴f（x）=﹣x2+2x；

（Ⅱ）∵f（x）=﹣（x﹣1）2+1≤1，

∴4n≤1，即n≤ ，

而拋物線y=﹣x2+2x的對稱軸為x=1，

∴當n≤ 時，f（x）在[m，n]上為增函數．

若滿足題設條件的m，n存在，

則 ，即 又m＜n≤ ．

∴m=﹣2，n=0，這時，定義域為[﹣2，0]，值域為[﹣8，0]．

由以上知滿足條件的m，n存在，m=﹣2，n=0

【解析】（Ⅰ）由方程ax2+bx﹣2x=0有等根，則△=0，得b，又由f（x﹣1）=f（3﹣x）知此函數圖象的對稱軸方程為x=﹣ =1，得a，從而求得f（x）．（Ⅱ）由f（x）=﹣（x﹣1）2+1≤1，知4n≤1，即n≤ ．由對稱軸為x=1，知當n≤ 時，f（x）在[m，n]上為增函數，得到關于m，n的方程組，最后看是否滿足m＜n≤ 即可．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的性質的相關知識點，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．