Question

設△ABC的內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若b²=ac，cosB=

3

4

（1）求

1

tanA

+

1

tanC

的值；
（2）設ac=2，求a+c的值．

Answer 1

考點：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由平方關系和題意求出sinB的值，利用正弦定理化簡b²=ac得sin²B=sinAsinC，再利用商的關系對所求的式子切化弦，由兩角和的正弦公式化簡后求值；
（2）由題意求出b²=2，再由余弦定理求出a²+c²的值，再求出a+c的值．

解答： 解：（1）由cosB=

3

4

，得sinB=

1-cos2B

=

7

4

，
由b²=ac及正弦定理得，sin²B=sinAsinC．
所以

1

tanA

+

1

tanC

=

cosA

sinA

+

cosC

sinC

=

sinCcosA+cosCsinA

sinAsinC

=

sin(A+C)

sin2B

=

sinB

sin2B

=

1

sinB

=

4

7

7

．
（2）由題意得，ac=2，即b²=2．
由余弦定理得，b²=a²+c²-2accosB，得a²+c²=b²+2accosB=5，
即（a+c）²=a²+c²+2ac=5+4=9，
所以a+c=3．

點評：本題考查了正弦定理、余弦定理，同角三角函數的基本關系、兩角和的正弦公式的綜合應用，熟練掌握公式是解題的關鍵．