Question

已知向量

m

=(sinx，1)，

n

=(

3

cosx，

1

2

)，函數f(x)=(

m

+

n

)•

m

．
（1）求函數f（x）的最小正周期T及單調增區間；
（2）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，A為銳角，a=2

3

，c=4且f（A）是函數f（x）在[0，

π

2

]上的最大值，求△ABC的面積S．

Answer 1

（1）∵向量

m

=(sinx，1)，

n

=(

3

cosx，

1

2

)，
∴

m

+

n

=（sinx+

3

cosx，

3

2

），
∴f（x）=（

m

+

n

）•

m

=sin²x+

3

sinxcosx+

3

2

=

1

2

（1-cos2x）+

3

2

sin2x+

3

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+2=sin（2x-

π

6

）+2，
∵ω=2，∴T=

2π

2

=π；
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），解得：kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z），
則函數f（x）的單調增區間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）；
（2）由（1）得f（A）=sin（2A-

π

6

）+2，
∵A∈[0，

π

2

]，∴2A-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴-

1

2

≤sin（2A-

π

6

）≤1，即

5

2

≤f（A）≤3，
∴當2A-

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

時，f（A）的最大值為3，
又a=2

3

，c=4，cosA=

1

2

，
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得：12=b²+16-4b，即b²-4b+4=0，
整理得：（b-2）²=0，解得：b=2，
則S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×2×4×

3

2

=2

3

．