Question

已知數列{a_n}是首項為a₁，各項均為正數的等比數列，其前n項和為S_n，且有5S₂=4S₄．
（1）求數列{a_n}的公比q；
（2）設b_n=q+S_n，試問{b_n}是否為等比數列？若是求出a₁的值；若不是說明理由．

Answer 1

（1）若q=1，5S₂=10a₁，4S₄=16a₁，不滿足5S₂=4S₄，故q≠1…（2分）
由5S₂=4S₄得5

a1(1-q2)

1-q

=4

a1(1-q4)

1-q

，1+q2=

5

4

，q2=

1

4

，
∵a_n＞0，∴q=

1

2

…（5分）
（2）假設滿足條件的等比數列{b_n}存在．
由（1）得Sn=

a1[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=2a1[1-(

1

2

)n]，∴bn=

1

2

+2a1[1-(

1

2

)n]，…（8分）
∵{b_n}是等比數列，∴b₁，b₂，b₃成等比數列，∴

b

22

=b1b3
即(

3

2

a1+

1

2

)2=(a1+

1

2

)(

7

4

a1+

1

2

)，整理得4

a

21

+a1=0，得a1=0或a1=-

1

4

…（11分）
這與數列{a_n}各項均為正數矛盾，故數列{b_n}不存在．…（12分）