Question

已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且，⊙是以為直徑的圓，直線(xiàn)：與⊙相切，并且與橢圓交于不同的兩點(diǎn)

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)，且滿(mǎn)足時(shí)，求弦長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

（1）；（2）．

解析試題分析：（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可利用待定系數(shù)法，求出的值即可，由已知，得，可得，把代入橢圓的方程，即可求出的值，從而得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)，且滿(mǎn)足時(shí)，求弦長(zhǎng)的取值范圍，可利用弦長(zhǎng)公式來(lái)求，設(shè)，由，得，得，由于同時(shí)含有，可消元，由直線(xiàn)：與⊙相切，可得，這樣由弦長(zhǎng)公式得，可求出的范圍即可，由已知，且滿(mǎn)足，由，可得，從而得的范圍，進(jìn)而得弦長(zhǎng)的取值范圍．
試題解析：（1）依題意，可知，∴，
解得
∴橢圓的方程為         5分
（2）直線(xiàn)：與⊙相切，
則，即，  6分
由，得，
∵直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)
設(shè)∴，

，
∴     ．9分
∴∴，
∴    ．11分
設(shè)，
則，
∵在上單調(diào)遞增∴     13分
考點(diǎn)：橢圓的方程，直線(xiàn)與二次曲線(xiàn)的位置關(guān)系．