Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的單調區間；

（2）設函數，若，使得成立，求實數a的取值范圍；

（3）若方程有兩個不相等的實數根，求證：.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）（3）證明見解析

【解析】

（1）對函數進行求導，根據的取值不同進行分類討論函數的單調區間；

（2）根據（1）中的單調性求出在上的最小值，再對進行求導，根據單調性求出在上的最大值，計算的值，然后分類討論，結合已知以及絕對值的意義進行求解即可；

（3）要證，由（1）知由得；

只要證明即可，根據方程根的性質，求出的表達式，構造新函數，利用新函數的單調性進行求解即可.

（1）（）

當時，，函數在上單調遞增；

當時，由得；

由得，函數在上遞增，在上遞減

（2）當時，，

令得（舍去），

當時，，

①當時，則顯然成立，即

②當時，則，即，

綜上.

（3）要證，由（1）知由得；

只要證明即可

∵是方程的兩個不等實根，不妨設

∴，

∴，

即，∴

即證

即證，

設

令，

則在上單調遞增，恒成立，得證.