Question

已知函數.

(1)若曲線在點處的切線與直線垂直，求實數的值.

(2)若，求的最小值；

(3)在(Ⅱ)上求證：.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）或.

（Ⅱ）函數在上單調遞減，在上單調遞增；

（Ⅲ）當 

。。

【解析】

試題分析：（Ⅰ）的定義域為，，根據題意有，

所以解得或.          4分

（Ⅱ）

當時，因為，由得，解得，

由得，解得，

所以函數在上單調遞減，在上單調遞增；    8分

（Ⅲ）由（2）知，當a>0, 的最小值為

令  

當 

。     13分

考點：本題主要考查導數的幾何意義，應用導數研究函數的單調性、最值及不等式的證明。

點評：典型題，本題屬于導數應用中的基本問題，通過研究函數的單調性，明確了極值情況。通過研究函數的單調區間、最值情況，得到證明不等式。涉及對數函數，要特別注意函數的定義域。