Question

【題目】己知數列，首項，設該數列的前項的和為，且

（1）求數列的通項公式；

（2）若數列滿足，求數列的通項公式；

（3）在第（2）小題的條件下，令，是數列的前項和，若對，恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）令求出，再令，由得出，兩式相減得出，再結合可得知數列是以為首項，以為公比的等比數列，然后利用等比數列的通項公式可求出；

（2）將代入，結合對數的運算律可求出；

（3）利用裂項求和法求出，求出的取值范圍，從而可得出實數的取值范圍.

（1）數列的前項的和為，且.

當時，則；

當時，由得出，

兩式相減得，即，，又.

所以，數列是以為首項，以為公比的等比數列，因此，；

（2），

因此，；

（3），

所以，，

可知數列單調遞增，所以，，且，則，

對任意，恒成立，則.

因此，實數的取值范圍是.