Question

（本題滿分14分）
設函數
（1）求函數極值；
（2）當恒成立，求實數a的取值范圍.

Answer 1

（1）f_極大=f(—1)=—4.  f_極小=f(—)=；（2）a的范圍為。

本題考查利用導數研究函數的極值以及由函數恒成立的問題求參數的取值范圍，求解本題關鍵是記憶好求導的公式以及極值的定義，對于函數的恒成立的問題求參數，要注意正確轉化，恰當的轉化可以大大降低解題難度．
（Ⅰ）先求出函數的導數，再令導數大于0求出單調增區間，導數小于0求出函數的減區間，再由極值的定義判斷出極值即可；
（2）設F(x)=f(x)—g(x)=x³+(2—a)x²+4
利用不等式恒成立構造新函數，求解函數的最值得到結論。
解：（1）∵f(x)=x³+2x²+x­—4
∴=3x²+4x+1，…………………………2分
令=0，得x₁= —1,x₂= —.

x	（－∞,－1）	－1	（－1,－）	－	（－,+∞）
	+	0	—	0	+
		極大		極小

∴f_極大=f(—1)=—4.  f_極小=f(—)=…………………………6分
（2）設F(x)=f(x)—g(x)=x³+(2—a)x²+4
 




解得a≤5   ∴2<a≤5………10分，當x=0時，F(x)=4
∴a的范圍為…………1４分