Question

已知平面內n（n∈N⁺）條直線，任意兩條都相交，任意三條不共點，這n條直線將平面分割成a_n個區域，則a₄=

11

；a_n=

n2+n+2

2

．

Answer 1

分析：因為第n（n≥2）條直線與前n-1條直線都相交且不共點，則它被前n-1條直線分割成n段，每一段將它所在的原區域一分為二，即在原區域數上增加了n個，故a_n=a_n-1+n（n≥2），利用累加法可得答案．

解答：解：∵a₁=2，a₂=4，a₃=7，a₄=11，
注意到a_n=a_n-1+n（n≥2），
因為第n（n≥2）條直線與前n-1條直線都相交且不共點，
則它被前n-1條直線分割成n段，
每一段將它所在的原區域一分為二，
即在原區域數上增加了n個，
故a_n=a_n-1+n（n≥2）；

a2=a1+2 a3=a2+3 … an=an-1+n

將這n-1個式子累加得：an=a1+2+3+…+n=1+

n(n+1)

2

=

n2+n+2

2

．
故答案為：11，

n2+n+2

2

點評：本題考查的知識點是合情推理--歸納推理，其中根據已知分析出a_n滿足：a_n=a_n-1+n（n≥2），是解答的關鍵．