Question

設函數f（x）=-cos²x-4tsin

x

2

cos

x

2

+2t²-3t+4，x∈R，其中|t|≤1，將f（x）的最小值記為g（t）．
（1）求函數g（t）的表達式；
（2）判斷g（t）在[-1，1]上的單調性，并求出g（t）的最值．

Answer 1

分析：（1）用配方法求函數的最值，根據二次項為0時函數值最小求g（t）
（2）根據圖象判斷函數的單調性，求最值

解答：解：（1）因為函數f（x）=-cos²x-4tsin

x

2

cos

x

2

+2t²-3t+4，x∈R，其中|t|≤1，
所以f（x）=sin²x-2tsinx+2t²-3t+3=（sinx-t）²+t²-3t+3
g（t）=f（x）_min=f（t）=t²-3t+3
（2）g（t）=t²-3t+3=（t-

3

2

）²+

3

4

，其對稱軸為t=

3

2

，開口向上，
所以g（t）在[-1，1]上的單調性為單調遞減，
g（t）_min=1
g（t）_max=7

點評：該題考查三角函數的轉化，配方法求最值，根據圖形判斷函數的單調性．屬于簡單題．