Question

用定義證明：已知函數f（x）=x+

1

x

．
（1）證明函數f（x）=x+

1

x

在區間[1，+∞）上是增函數，
（2）求函數f（x）=x+

1

x

在區間[2，6]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數的最值及其幾何意義

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據函數的定義法即可證明函數f（x）=x+

1

x

在區間[1，+∞）上是增函數，
（2）根據函數的單調性的性質即可求出函數的最值．

解答： 解：（1）任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(1-

1

x1x2

)＜0，
∵x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數f(x)=x+

1

x

在區間[1，+∞）上是增函數．
（2）∵函數f(x)=x+

1

x

在區間[1，+∞）上是增函數．
∴函數f（x）=x+

1

x

在區間[2，6]上也是增函數，
則函數的最小值為f（2）=2+

1

2

=

5

2

，
函數的最大值為f（6）=6+

1

6

=

37

6

．

點評：本題主要考查函數單調性的判斷以及函數最值的求解，利用定義法是解決本題的關鍵．