Question

【題目】已知直線交拋物線于兩點(diǎn)，過點(diǎn)分別作拋物線的切線，若兩條切線互相垂直且交于點(diǎn).

（1）證明：直線恒過定點(diǎn)；

（2）若直線的斜率為1，求點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（1）由得，利用導(dǎo)數(shù)可得直線的斜率為，直線的斜率為，結(jié)合，可得，即，從而利用韋達(dá)定理可得，則直線恒過定點(diǎn)；（2）求出直線的方程為，直線的方程為，解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，結(jié)合（1）利用韋達(dá)定理可得結(jié)果.

（1）證明：易知直線的斜率存在，設(shè)直線，，.

由得，

所以，.

由，得，所以，

所以直線的斜率為，直線的斜率為.

因?yàn)?/span>，所以，即，

所以，得，

所以直線，故直線恒過定點(diǎn).

（2）由（1）得直線的斜率為1時(shí)，，.

直線的方程為，即，

同理直線的方程為，即，

上面兩式聯(lián)立得，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，即.