Question

【題目】對于任意，若數列滿足，則稱這個數列為“K數列”.

（1）已知數列：，，是“K數列”，求實數的取值范圍；

（2）設等差數列的前項和為，當首項與公差滿足什么條件時，數列是“K數列”？

（3）設數列的前項和為，，且，. 設，是否存在實數，使得數列為“K數列”. 若存在，求實數的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)或；(2)答案見解析；(3)答案見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據“數列”的定義可得，解不等式組即可求得實數的取值范圍；（2）由數列是“數列”可得，則，即對恒成立，即可得到；（3）由推出，即可得數列是等比數列，從而可得數列的通項公式，由根據為“數列”列出不等式，再對為偶數或奇數進行討論，從而可得實數的取值范圍.

試題解析：（1）由題意可得.

（2），

數列是“K數列”；

∴對恒成立

∴且

（3）∵

∴

∴

∵也成立

∴

∴

∴數列是公比為的等比數列

∵

∴

∴

由題意得：，即.

當為偶數時，恒成立，；

當為奇數時，恒成立，.

綜上，.