Question

如圖所示，在矩形ABCD中，AB=2BC=2a，E為AB上一點，將B點沿線段EC折起至點P，連接PA、PC、PD，取PD的中點F，若有AF∥平面PEC.

（1）試確定E點位置；

（2）若異面直線PE、CD所成的角為60°，并且PA的長度大于a，

求證：平面PEC⊥平面AECD.

Answer 1

(1) E為AB的中點(2)證明略

解析:

（1）  E為AB的中點.

證明如下:取PC的中點G，連接GE，GF.

由條件知GF∥CD，EA∥CD，∴GF∥EA.

則G、E、A、F四點共面.

∵AF∥平面PEC，

平面GEAF∩平面PEC=GE，

∴FA∥GE.

則四邊形GEAF為平行四邊形.

∴GF=AE，∵GF=CD，∴EA=CD=BA.

即E為AB的中點.

（2）  ∵EA∥CD，PE、CD所成的角為60°，且PA的長度大于a.

∴∠PEA=120°.

∵PE=BE=EA=a，∴PA=a.

取CE的中點M，連接PM，AM，BM，在△AEM中，      

AM==a.

∵PM=BM=a，∴PM²+AM²=PA².

則∠PMA=90°，PM⊥AM.

∵PM⊥EC，EC∩AM=M，

∴PM⊥平面AECD.

∵PM平面PEC，

∴平面PEC⊥平面AECD.