Question

【題目】已知拋物線的焦點到其準(zhǔn)線的距離為.

（1）求拋物線的方程;

（2）設(shè)直線與拋物線相交于兩點,問拋物線上是否存在點,使得是正三角形？若存在,求出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1） （2）存在，點的坐標(biāo)為

【解析】

（1）因為拋物線,物線的焦點為,準(zhǔn)線為,由,即可求得答案;

（2）設(shè),,則由消掉得:,解得,假設(shè)拋物線上存在滿足條件的點,結(jié)合已知,即可得出答案.

（1）拋物線

拋物線的焦點為,準(zhǔn)線為,

由得,

拋物線的方程為.

（2）設(shè),,

則由消掉得:

即,

根據(jù)韋達(dá)定理可得:,.

又 由兩點間距離公式可得:

,

.

假設(shè)拋物線上存在滿足條件的點,

設(shè)的中點,

則,

即.

是正三角形,

,且.

由和直線和

可得的方程為:即.

又 由點在上,

.①

由及點到直線的距離,得②

由聯(lián)立①②解得或

檢驗點不在拋物線上,

存在滿足條件的點的坐標(biāo)為.

另法參考：亦可由

得或

經(jīng)驗證,點不符合條件.

存在滿足條件的點的坐標(biāo)為.