Question

【題目】在圓 上任取一點 ，點 在 軸的正射影為點 ，當點 在圓上運動時，動點 滿足 ，動點 形成的軌跡為曲線 ．
（Ⅰ）求曲線 的方程；
（Ⅱ）點 在曲線 上，過點 的直線 交曲線 于 兩點，設直線 斜率為 ，直線 斜率為 ，求證： 為定值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設點 坐標為 ， 點 的坐標為 ，則 ，

因為點 在圓 ，所以 ①

把 ， 代入方程①，得 ，

所以曲線 的方程為 ．

（Ⅱ）方法一：由題意知直線 斜率不為0，設直線 方程為 ，

由 消去 ，得 ，

易知 ，得

．所以 為定值

方法二：（ⅰ）當直線 斜率不存在時，

所以

（ⅱ）當直線 斜率存在時，設直線 方程為 ，

由 消去 ，得 ，

易知 ，

．所以 為定值

【解析】(I)用代入法求點的軌跡方程，設點 M 坐標為 ( x , y ) ， 點 P 的坐標為 ( , ),找到x,y與的關系即可。
（II）此題結合直線與橢圓的位置關系，考察定值問題；因此設出直線的方程，聯立，利用韋達定理得到點B、D的坐標的關系，再利用直線的斜率的坐標公式表示出即可。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解斜率的計算公式的相關知識，掌握給定兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用兩點的坐標來表示直線P1P2的斜率：斜率公式: k=y2-y1/x2-x1，以及對橢圓的標準方程的理解，了解橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．