Question

【題目】如圖，已知圓O外有一點P，作圓O的切線PM，M為切點，過PM的中點N，作割線NAB，交圓于A、B兩點，連接PA并延長，交圓O于點C，連續PB交圓O于點D，若MC=BC．

（1）求證：△APM∽△ABP；
（2）求證：四邊形PMCD是平行四邊形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PM是圓O的切線，NAB是圓O的割線，N是PM的中點，

∴MN2=PN2=NANB，

∴ ，

又∵∠PNA=∠BNP，

∴△PNA∽△BNP，

∴∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA，．

∵MC=BC，

∴∠MAC=∠BAC，

∴∠MAP=∠PAB，

∴△APM∽△ABP

（2）證明：∵∠ACD=∠PBN，

∴∠ACD=∠PBN=∠APN，即∠PCD=∠CPM，

∴PM∥CD．

∵△APM∽△ABP，

∴∠PMA=∠BPA

∵PM是圓O的切線，

∴∠PMA=∠MCP，

∴∠PMA=∠BPA=∠MCP，即∠MCP=∠DPC，

∴MC∥PD，

∴四邊形PMCD是平行四邊形

【解析】（1）由切割線定理，及N是PM的中點，可得PN2=NANB，進而 ，結合∠PNA=∠BNP，可得△PNA∽△BNP，則∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA；再由MC=BC，可得∠MAC=∠BAC，再由等角的補角相等可得∠MAP=∠PAB，進而得到△APM∽△ABP（2）由∠ACD=∠PBN，可得∠PCD=∠CPM，即PM∥CD；由△APM∽△ABP，PM是圓O的切線，可證得∠MCP=∠DPC，即MC∥PD；再由平行四邊形的判定定理得到四邊形PMCD是平行四邊形．