Question

【題目】如圖，PD垂直正方形ABCD所在平面，AB＝2，E是PB的中點， ， >．

（1）建立適當的空間坐標系，求出點E的坐標；

（2）在平面PAD內求一點F，使EF⊥平面PCB．

Answer 1

【答案】（1）點E坐標是（1，1，1）（2）點F的坐標是（1，0，0）

【解析】試題分析：

(1)由題意，分別以DA、DC、DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間坐標系，結合空間中點的坐標，設P（0，0，2m），則（1，1，m），結合平面向量夾角公式得到關于m的方程，解方程可得點E坐標是（1，1，1）；

(2)由題意，設F（x，0，z），結合平面向量的法向量和直線的方向向量得到關于坐標的方程組，求解方程組可得即點F是AD的中點．

試題解析：

（1）分別以DA、DC、DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間坐標系，如圖，則

（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），

設P（0，0，2m），則（1，1，m），

∴　（-1，1，m），＝（0，0，2m）

∴　， ．

∴　點E坐標是（1，1，1）；

（2）∵平面PAD，　∴　可設F（x，0，z）

＝（x-1，-1，z-1）， 又EF⊥平面PCB，　

∴　 ，-1， 2，0， =0，解得, ；

又∵　∴　，-1， 0，2，-2

∴　點F的坐標是（1，0，0），即點F是AD的中點．