Question

若函數f（x）=ax³-bx+4，當x=2時，函數f（x）有極值為-

4

3

，
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）=k有3個解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先對函數進行求導，然后根據f（2）=-

4

3

．f'（2）=0可求出a，b的值，進而確定函數的解析式．
（2）根據（1）中解析式然后求導，然后令導函數等于0求出x的值，然后根據函數的單調性與其導函數的正負之間的關系確定單調性，進而確定函數的大致圖象，最后找出k的范圍．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3ax²-b
由題意；

f′(2)=12a-b f(2)=8a-2b+4=- 4 3

，解得

a= 1 3 b=4

，
∴所求的解析式為f(x)=

1

3

x3-4x+4
（Ⅱ）由（1）可得f′（x）=x²-4=（x-2）（x+2）
令f′（x）=0，得x=2或x=-2，
∴當x＜-2時，f′（x）＞0，當-2＜x＜2時，f′（x）＜0，當x＞2時，f′（x）＞0
因此，當x=-2時，f（x）有極大值

28

3

，
當x=2時，f（x）有極小值-

4

3

，
∴函數f(x)=

1

3

x3-4x+4的圖象大致如圖．
由圖可知：-

4

3

＜k＜

28

3

．

點評：本題主要考查函數的單調性、極值與其導函數之間的關系．導數是高等數學下放到高中的內容，是高考的熱點問題，每年必考，要給予充分重視．