Question

在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知F是線段BD的中點．
（Ⅰ）試在棱D₁D上確定一點E，使得EF⊥B₁C；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求三棱錐B₁-EFC的體積．

Answer 1

分析：（1）當點E為棱DD₁的中點時，會使得EF⊥B₁C，下面用下面垂直來證明即可；
（2）先由已知結合（1）得出垂直關系，再由幾何關系求出三棱錐的底面和高，代公式可求．

解答：解：（1）當點E為棱DD₁的中點時，會使得EF⊥B₁C．下面證明：…（2分）
∵E、F分別為棱DD₁、BD的中點，∴EF∥BD₁，…（3分）
∵B₁C⊥BC₁，B₁C⊥C₁D₁，又BC₁∩C₁D₁=C₁，∴B₁C⊥平面BC₁D₁，∴B₁C⊥BD₁
同理可得B₁C⊥BD，又BD∩BD₁=B，
故BD₁⊥平面AB₁C，所以B₁C⊥BD₁…（5分）
即EF⊥B₁C；…（6分）
（2）由（1）可知：EF⊥B₁C，又EF⊥FC，故EF⊥平面B₁CF，
又EF=

1

2

BD₁=

3

．…（7分）
CF=

2

，B₁C=2

2

，B₁F=

6

，滿足勾股定理…（8分）
故S△B1CF=

1

2

×

2

×

6

=

3

．…（10分）
故三棱錐B₁-EFC的體積為V=

1

3

×

3

×

3

=1．…（13分）

點評：本題以正方體為載體考查線面垂直的證明以及三棱錐體積的求解，屬中檔題．