Question

設函數f（x）=

3 sinθ

3

x3+

cosθ

2

x2+4x-1，其中θ∈[0，

5π

6

]，則導數f′（-1）的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：根據函數解析式求出f'（x），把x=-1代入f'（x），利用兩角差的正弦公式化簡，根據θ的范圍和正弦函數的性質求出f'（-1）的范圍．

解答：解：由f（x）=

3 sinθ

3

x3+

cosθ

2

x2+4x-1得，f'（x）=

3

sinθx²+cosθx+4，
則f′（-1）=

3

sinθ-cosθ+4=2sin(θ-

π

6

)+4，
∵θ∈[0，

5π

6

]，∴-

π

6

＜θ-

π

6

＜

2π

3

，∴-

1

2

＜sin(θ-

π

6

)≤1，
∴-1＜2sin(θ-

π

6

)≤2，即3＜2sin(θ-

π

6

)+4≤6，
故導數f′（-1）的取值范圍是（3，6]．
故答案為：（3，6]．

點評：本題考查了求函數的導數，再求導函數的函數值的范圍，利用兩角差的正弦公式和正弦函數的性質，進行化簡并求出f'（-1）的范圍．