Question

設函數f（x）=3sin（2x+φ），φ∈（-π，0），y=f（x）圖象的一條對稱軸是直線x=

π

8

（1）求φ；
（2）求y=f（x）的減區間；
（3）當x∈[0，

π

2

]時求y=f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）根據其圖象的一條對稱軸是直線 x=

π

8

，把這個自變量的值代入，寫出關于所求的量的方程，結合-π＜φ＜0，求出φ的值．
（2）根據（1）求出函數的解析式，利用正弦函數的單調減區間，根據不等式的基本性質求出函數的單調增區間．
（3）根據所給的x的范圍，寫出2x-

3π

4

的范圍，根據正弦曲線寫出自變量的正弦值的范圍，乘以3得到函數的值域．

解答：解：（1）∵x=

π

8

是函數圖象的一條對稱軸，
∴sin(2×

π

8

+?)=±1
∴

π

4

+?=kπ+

π

2

，k∈Z，
∵-π＜?＜0，
∴?=-

3π

4

．（4分）
（2）由（1）知?=-

3π

4

，∴f(x)=3sin(2x-

3π

4

)，
由題意得 2kπ+

π

2

＜2x-

3π

4

＜2kπ+

3π

2

，則 kπ+

5π

8

＜x＜kπ+

9π

8

∴kπ+

5π

8

≤x≤kπ+

9π

8

，k∈Z
故函數函數f（x）的單調遞減區間是(kπ+

5π

8

，kπ+

9π

8

)，k∈z
（3）∵x∈[0，

π

2

]，
∴2x-

3π

4

∈ [-

3π

4

，

π

4

]
∴sin(2x-

3π

4

)∈[-1，

2

2

]
∴3sin(2x-

3π

4

)∈[-3，

3 2

2

]

點評：本題考查三角函數的基本性質，函數的對稱性，正弦函數的單調性，本題解題的關鍵是掌握基本函數的基本性質，本題是一個基礎題．