Question

已知向量

a

=(0，1)，向量

a

+

b

=(

3

，1)試求
（1）|

a

-

b

|
（2）

a

-

b

與

a

+

b

的夾角．

Answer 1

分析：（1）由題意，算出

b

=（

3

，0），從而得到向量

a

-

b

的坐標，由向量模的公式加以計算，可得|

a

-

b

|的值．
（2）根據

a

+

b

的坐標算出|

a

+

b

|=2，由（

a

+

b

）•（

a

-

b

）=-2，利用向量的夾角公式算出

a

-

b

與

a

+

b

的夾角余弦等于-

1

2

，從而算出

a

-

b

與

a

+

b

的夾角大小．

解答：解：（1）∵

a

=(0，1)，

a

+

b

=(

3

，1)，
∴

b

=（

3

，0），
則

a

-

b

=(-

3

，1)．
∴|

a

-

b

|=

(- 3 )2+12

=2；
（2）∵

a

+

b

=(

3

，1)，
∴|

a

+

b

|=

( 3 )2+12

=2，
設

a

-

b

與

a

+

b

的夾角為α，
則cosα=

( a - b )•( a + b )

| a - b |•| a + b |

=

3 ×(- 3 )+1×1

2×2

=-

1

2

，
∵α∈（0，π），
∴α=

2π

3

，
即

a

-

b

與

a

+

b

的夾角等于

2π

3

．

點評：本題給出向量

a

與向量

a

+

b

的坐標，求|

a

-

b

|和

a

-

b

、

a

+

b

的夾角．著重考查了向量的坐標運算法則、向量數量積公式和向量模的公式等知識，屬于中檔題．