Question

已知函數(shù)y=lg(-x)，求其定義域，并判斷其奇偶性、單調(diào)性.

Answer 1

由題意-x＞0，解得x∈R，即定義域為R.

又f（-x）=lg［-（-x）］=lg（+x）=lg=lg（-x）^-1=-lg（-x）=-f（x）,∴y=lg（-x）是奇函數(shù).任取x₁、x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，

則＜+x₁＜+x₂>，

即有-x₁＞-x₂＞0，

∴l(xiāng)g（-x₁）＞lg（-x₂），即f（x₁）＞f（x₂）成立.

∴f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù).

又f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，故f（x）在（-∞，0）上也為減函數(shù).

解析:

  注意到+x=，即有l(wèi)g（-x）=-lg（+x），從而f（-x）=lg（+x）=-lg（-x）=-f（x），可知其為奇函數(shù).又因為奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，所以我們只需研究（0，+∞）上的單調(diào)性.