Question

已知函數y=lg（1+tx-x²）的定義域為M，其中t∈R．
（1）若t=

3

2

，求函數f（x）=3•4^x-2^x+2在M上的最小值及相應的x的值；
（2）若對任意x₁，x₂∈M函數g（x）=

2x-t

x2+1

滿足|g（x₁）-g（x₂）|＜3，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）t=

3

2

時，求出函數y的定義域M，判定f（x）在M上的單調性與最值情況，求出結果；
（2）利用導函數判定函數g（x）在M上的單調性，求出|g（x₁）-g（x₂）|的表達式，根據題中條件求出t的取值范圍．

解答：解：（1）t=

3

2

時，函數y=lg（1+tx-x²）的定義域為1+

3

2

 x-x2＞0，解得-

1

2

＜x＜2，即M=(-

1

2

，  2)．
∵f（x）=3•4^x-2^x+2=3•（2^x）²-4•2^x，
令2^x=t，則

2

2

＜t＜4，f(x)=g(t)=3t2-4t=3(t-

2

3

)2+

4

3

，
∴g（t）在(

2

2

，  4)上是增函數．
∴g（t）在(

2

2

，  4)上無最小值，即f（x）在M上無最小值．
（2）∵函數g（x）=

2x-t

x2+1

，∴g′(x)=

2(1+tx-x2)

(x2+1)2

＞0，
∴g（x）在M上是增函數； 
設1+tx-x²=0的兩根為α，β（α＜β），則α+β=t，αβ=-1，M=（α，β）；
∴g(β)-g(α)=

2β-t

β2+1

-

2α-t

α2+1

=

(2β-t)(α2+1)-(2α-t)(β2+1)

(α2+1)(β2+1)

=

2αβ(α-β)-2(α-β)-t(α-β)(α+β)

(αβ)2+(α+β)2-2αβ+1

=

-4(α-β)-t2(α-β)

4+t2

=β-α
=

(α+β)2-4αβ

=

t2+4

．
由題意知，要使原不等式恒成立，只需

t2+4

＜3，
解得t∈[-

5

，   

5

]；
∴t的取值范圍是[-

5

，

5

]．

點評：本題考查了復合函數的定義域與值域、單調性等綜合性知識，是容易出錯的題目．