Question

已知函數，，圖象與軸異于原點的交點M處的切線為，與軸的交點N處的切線為， 并且與平行.

（1）求的值；

（2）已知實數t∈R，求的取值范圍及函數的最小值；

（3）令，給定，對于兩個大于1的正數，存在實數滿足：，，并且使得不等式恒成立，求實數的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）2 （2） （3）

【解析】

試題分析：

（1）根據題意求出f(x)，g(x-1)與x軸交點的坐標，利用切線平行，即導函數在交點處的導函數值相等，即可求出f(x)中參數a的值，進而得到f(2).

（2）可以利用求定義域，求導，求單調性與極值 對比極值與端點值得到的取值范圍.進而直接用u替代中的，把問題轉化為求解在區間上的最小值，即為一個含參二次函數的最值.則利用二次函數的單調性，即分對稱軸在區間的左邊，中，右邊三種情況進行討論得到函數的最小值.

（3）對F(x)求導求并確定導函數的符號得到函數F(x)的單調性，有了F(x)的單調性，則要得到不等式，我們只需要討論m的范圍確定的大小關系，再根據單調性得到的大小關系，判斷其是否符合不等式，進而得到m的取值范圍.

試題解析：

（1） 圖象與軸異于原點的交點， 1分

圖象與軸的交點， 2分

由題意可得， 即 ， 3分

∴， 4分

（2）= 5分

令，在 時，，

∴在單調遞增， 6分

圖象的對稱軸，拋物線開口向上

①當即時， 7分

②當即時， 8分

③當即時，

9分

,

所以在區間上單調遞增

∴時， 10分

①當時，有，

，

得，同理，　

∴ 由的單調性知 、

從而有，符合題設. 11分

②當時，，

，

由的單調性知 ，

∴，與題設不符 12分

③當時，同理可得，

得，與題設不符. 13分

∴綜合①、②、③得 14分

考點：二次函數 導數 單調性 最值