Question

（2011•黃岡模擬）已知拋物線y²=2px（p＞0），Rt△ABC的三個頂點都在拋物線上，且斜邊AB∥y軸，則斜邊上的高為（　　）

• A．p
• B．2p
• C．4p
• D．

  p

  2

Answer 1

分析：結合拋物線的方程與性質設出A，B，C的坐標，即可表達出斜邊上的高|CD|，再由直角三角形的性質得到斜邊上中線的長度，然后利用兩點之間的距離公式表達出中線的長度，即可得到一個等式，進而求出斜邊上的高得到答案．

解答：解：由題意，斜邊平行y軸，即垂直對稱軸x軸，
可設C的坐標為（

c2

2p

，c），B的坐標為（

b2

2p

，b），則A的坐標為（

b2

2p

，-b）；

AC

=（

c2

2p

-

b2

2p

，c-b），

CB

=（

b2

2p

-

c2

2p

，-b-c）
又由Rt△ABC的斜邊為AB，則有AC⊥CB，
即

AC

•

CB

=0，
變形可得|b²-c²|=4p²，
而斜邊上的高即C到AB的距離為|

b2

2p

-

c2

2p

|=

4p2

2p

=2p；
故選B．

點評：本題的考點是拋物線的應用，主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題，考查拋物線的標準方程等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于中檔題．