Question

（2011•西城區二模）已知橢圓M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2 2

3

，且橢圓上一點與橢圓的兩個焦點構成的三角形周長為6+4

2

．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設直線l與橢圓M交于A，B兩點，且以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點C，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因為橢圓M上一點和它的兩個焦點構成的三角形周長為6+4

2

，根據橢圓的幾何性質得出2a+2c的值，又橢圓的離心率即可求得a，c，所以b=1，最后寫出橢圓M的方程；
（Ⅱ）不妨設直線AB的方程x=ky+m，將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用弦長公式即可求得m值，從而解決問題．

解答：解：（Ⅰ）因為橢圓M上一點和它的兩個焦點構成的三角形周長為6+4

2

，
所以2a+2c=6+4

2

，
又橢圓的離心率為

2 2

3

，即

c

a

=

2 2

3

，所以c=

2 2

3

a，…（2分）
所以a=3，c=2

2

．
所以b=1，橢圓M的方程為

x2

9

+y2=1．…（3分）
（Ⅱ）不妨設直線AB的方程x=ky+m．
由

x=ky+m x2 9 +y2=1

消去x得（k²+9）y²+2kmy+m²-9=0，…（5分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有y1+y2=-

2km

k2+9

，y1y2=

m2-9

k2+9

．①…（6分）
因為以AB為直徑的圓過點C，所以 

CA

•

CB

=0．
由 

CA

=(x1-3，y1)，

CB

=(x2-3，y2)，
得 （x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂=0．…（7分）
將x₁=ky₁+m，x₂=ky₂+m代入上式，
得 （k²+1）y₁y₂+k（m-3）（y₁+y₂）+（m-3）²=0．
將 ①代入上式，解得 m=

12

5

或m=3（舍）．…（8分）
所以m=

12

5

，令D是直線AB與X軸的交點，則|DC|=

3

5

則有S△ABC=

1

2

|DC||y1-y2|=

1

2

×

3

5

(y1+y2)2-4y1y2

=

9

5

25(k2+9)-144 25(k2+9)2

．…（10分）
設t=

1

k2+9

，0＜t≤

1

9

，則S△ABC=

9

5

- 144 25 •t2+t

．
所以當t=

25

288

∈(0，

1

9

]時，S_△ABC取得最大值

3

8

．…（12分）

點評：本題考查橢圓的方程和三角形面積的最大值，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．