Question

（2011•西城區(qū)二模）已知函數(shù)f(x)=(1-

a

x

)ex(x＞0)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）當a=2時，求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線與坐標軸圍成的面積；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）存在一個極大值點和一個極小值點，且極大值與極小值的積為e⁵，求a的值．

Answer 1

分析：（I）首先對函數(shù)求導，代入所給的a=2的條件，得到曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=ex-2e，做出切線與x軸、y軸的交點坐標分別為（2，0），（0，-2e），表示出三角形的面積．
（II）根據(jù)函數(shù)f（x）存在一個極大值點和一個極小值點，得到方程x²-ax+a=0在（0，+∞）內(nèi)存在兩個不等實根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求出a的范圍，寫出極值，根據(jù)極值的積做出結(jié)果．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

x2-ax+a

x2

ex，…（3分）
當a=2時，f′(x)=

x2-2x+2

x2

ex，f′(1)=

1-2+2

12

×e1=e，f（1）=-e，
所以曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=ex-2e，…（5分）
切線與x軸、y軸的交點坐標分別為（2，0），（0，-2e），…（6分）
∴所求面積為

1

2

×2×|-2e|=2e．…（7分）
（Ⅱ）因為函數(shù)f（x）存在一個極大值點和一個極小值點，
所以，方程x²-ax+a=0在（0，+∞）內(nèi)存在兩個不等實根，…（8分）
則

△=a2-4a＞0 a＞0.

…（9分）
所以a＞4．…（10分）
設(shè)x₁，x₂為函數(shù)f（x）的極大值點和極小值點，
則x₁+x₂=a，x₁x₂=a，…（11分）
因為f（x₁）f（x₂）=e⁵，
所以

x1-a

x1

ex1×

x2-a

x2

ex2=e5，…（12分）
即

x1x2-a(x1+x2)+a2

x1x2

ex1+x2=e5，

a-a2+a2

a

ea=e5，e^a=e⁵，
解得a=5，此時f（x）有兩個極值點，
所以a=5．…（14分）

點評：本題看出利用導數(shù)求極值和極值存在的條件，本題解題的關(guān)鍵是利用極值存在的條件展開運算，注意題目中出現(xiàn)的一元二次方程根與系數(shù)之間的關(guān)系．