Question

【題目】已知函數為定義域上的奇函數，且在上是單調遞增函數，函數，數列為等差數列，且公差不為0，若，則（ ）

A.18B.9C.27D.81

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據題意，由奇函數的性質可得f（﹣x）+f（x）＝0，又由g（x）＝f（x﹣3）+x且g（a1）+g（a2）+…+g（a9）＝27，可得f（a1﹣3）+f（a2﹣3）+…+f（a9﹣3）+（a1+a2+…+a9）＝27，結合等差數列的性質可得f（a1﹣5）＝﹣f（a9﹣5）＝f（5﹣a9），進而可得a1﹣5＝5﹣a9，即a1+a9＝10，進而計算可得答案．

根據題意，函數y＝f（x）為定義域R上的奇函數，

則有f（﹣x）+f（x）＝0，

∵g（x）＝f（x﹣3）+x，

∴若g（a1）+g（a2）+…+g（a9）＝27，

即f（a1﹣3）+a1+f（a2﹣3）+a2+…+f（a9﹣3）+a9＝27，

即f（a1﹣3）+f（a2﹣3）+…+f（a9﹣3）+（a1+a2+…+a9）＝27，

f（a1﹣3）+f（a2﹣3）+…+f（a9﹣3））+（a1﹣3+a2﹣3+…+a9﹣3）＝0，

又由y＝f（x）+x為定義域R上的奇函數，且在R上是單調函數，

且（a1﹣3）+（a9﹣3）＝（a2﹣3）+（a8﹣3）＝…＝2（a5﹣3），

∴a5﹣3＝0，

即a1+a9＝a2+a8＝…＝2a5＝6，

則a1+a2+…+a9＝9a5＝27；

故選：C．