Question

（2012•威海二模）如圖，在平面直角坐標系xoy中，設點F（0，p）（p＞0），直線l：y=-p，點p在直線l上移動，R是線段PF與x軸的交點，過R、P分別作直線l₁、l₂，使l₁⊥PF，l₂⊥l l₁∩l₂=Q．
（Ⅰ）求動點Q的軌跡C的方程；
（Ⅱ）在直線l上任取一點M做曲線C的兩條切線，設切點為A、B，求證：直線AB恒過一定點；
（Ⅲ）對（Ⅱ）求證：當直線MA，MF，MB的斜率存在時，直線MA，MF，MB的斜率的倒數成等差數列．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先判斷RQ是線段FP的垂直平分線，從而可得動點Q的軌跡C是以F為焦點，l為準線的拋物線；
（Ⅱ）設M（m，-p），兩切點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），求出切線方程，從而可得x₁，x₂為方程x²-2mx-4p²=0的兩根，進一步可得直線AB的方程，即可得到直線恒過定點（0，p）；
（Ⅲ） 由（Ⅱ）的結論，設M（m，-p），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且有x₁+x₂=2m，x₁x₂=-4p²，從而可得k_MA=

y1+p

x1-m

，k_MB=

y2+p

x2-m

，由此可證直線MA，MF，MB的斜率的倒數成等差數列．

解答：（Ⅰ）解：依題意知，點R是線段FP的中點，且RQ⊥FP，
∴RQ是線段FP的垂直平分線．---------------------------------------（2分）
∴|PQ|=|QF|．
∴動點Q的軌跡C是以F為焦點，l為準線的拋物線，其方程為：x²=4py（p＞0）．--------------------（4分）
（Ⅱ）證明：設M（m，-p），兩切點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由x²=4py得y=

1

4p

x2，求導得y′=

1

2p

x．
∴兩條切線方程為y-y1=

1

2p

x1(x-x1) ①
y-y2=

1

2p

x2(x-x2)②-------------------（6分）
對于方程①，代入點M（m，-p）得，-p-y1=

1

2p

x1(m-x1)，
又y1=

1

4p

x12
∴-p-

1

4p

x12=

1

2p

x1(m-x1)
整理得：x12-2mx1-4p2=0
同理對方程②有x22-2mx2-4p2=0
即x₁，x₂為方程x²-2mx-4p²=0的兩根．
∴x₁+x₂=2m，x₁x₂=-4p²  ③-----------------------（8分）
設直線AB的斜率為k，k=

y2-y1

x2-x1

=

1

4p

(x1+x2)
所以直線AB的方程為y-

1

4p

x12=

1

4p

(x1+x2)(x-x1)，展開得：y=

1

4p

(x1+x2)x-

x1x2

4p

，
代入③得：y=

m

2p

x+p
∴直線恒過定點（0，p）．-------------------------------------（10分）
（Ⅲ） 證明：由（Ⅱ）的結論，設M（m，-p），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
且有x₁+x₂=2m，x₁x₂=-4p²，
∴k_MA=

y1+p

x1-m

，k_MB=

y2+p

x2-m

----------------------------（11分）
∴

1

kMA

+

1

kMB

=

1

y1+p x1-m

+

1

y2+p x2-m

=

4pm

x1x2

=

4pm

-4p2

=-

m

p

------（13分）
又∵

1

kMF

=

m

-p-p

=-

m

2p

，
∴

1

kMA

+

1

kMB

=

2

kMF

即直線MA，MF，MB的斜率的倒數成等差數列．----------------------------（14分）

點評：本題考查拋物線的定義，考查直線恒過定點，考查直線的向量，解題的關鍵是正確運用韋達定理，屬于中檔題．