Question

設A，F分別是橢圓（a＞b＞0）的左頂點與右焦點，若在其右準線上存在點P，使得線段PA的垂直平分線恰好經過點F，則橢圓的離心率的取值范圍是_____

Answer 1

由題意，橢圓上右準線上存在點P，使得線段AP的垂直平分線過點F，即F點到P點與A點的距離相等
而|FA|=a+c，如圖，
又|FH|=

a2 c -c |PF|＞|FH|， 于是a+c＞ a2 c -c即ac+2c2＞a2， ∴2e2+e-1＞0，e＞ 1 2 ，又e∈（0，1） 故e∈（ 1 2 ，1） 故答案為：（ 1 2 ，1）．