Question

設定義域為R的函數f（x）=

a，(x=1) ( 1 2 )|x-1|+1，(x≠1)

，若關于x的方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有五個不同的實數解，則符合題意的a的取值范圍是

1＜a＜

3

2

或

3

2

＜a＜2．

．

Answer 1

分析：程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有五個不同的實數解x，即要求f（x）=常數有3個不同的f（x），根據題意，先做出函數f（x）的圖象，結合圖象可知，只有當f（x）=a時，有3個根，再結合方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有2個不同的實數解，可求

解答：解：方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有五個不同的實數解，
解：∵題中原方程2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有且只有5個不同實數解，
∴即要求對應于f（x）等于某個常數有3個不同實數解，
∴故先根據題意作出f（x）的簡圖：
由圖可知，只有當f（x）=a時，它有三個根．
所以有：1＜a＜2 ①．
再根據2f²（x）-（2a+3）f（x）+3a=0有兩個不等實根，
得：△=（2a+3）²-4×2×3a＞0⇒a≠

3

2

②
結合①②得：1＜a＜

3

2

或

3

2

＜a＜2．
故答案為：1＜a＜

3

2

或

3

2

＜a＜2．

點評：本題考查了函數的圖象與一元二次方程根的分布的知識，采用數形結合的方法解決．數形結合是數學解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質．