Question

設定義域為R的函數f(x)=

-2x+a

2x+1+b

（a，b為實數）若f（x）是奇函數．
（1）求a與b的值；
（2）判斷函數f（x）的單調性，并證明；
（3）證明對任何實數x、c都有f（x）＜c²-3c+3成立．

Answer 1

分析：（1）利用奇函數的定義，建立等式，即可求a與b的值；
（2）確定函數解析式，利用導數法，可得函數的單調性；
（3）確定左、又函數的最值，即可證得結論．

解答：（1）解：∵f（x）是奇函數時，
∴f（-x）=-f（x），即

-2-x+a

2-x+1+b

=-

-2x+a

2x+1+b

對任意實數x成立．
化簡整理得（2a-b）•2^2x+（2ab-4）•2^x+（2a-b）=0，這是關于x的恒等式，所以

2a-b=0 2ab-4=0

所以

a=-1 b=-2

（舍）或

a=1 b=2

（2）解：f（x）在R上單調遞減，證明如下：
由（1）知f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

2x-1

2x+1+2

=-

1

2

×

2x+1-2

2x+1

=-

1

2

+

1

2x+1

∴f′(x)=

-2xln2

(2x+1)2

＜0，
∴f（x）在R上單調遞減；
（3）證明：f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=-

1

2

+

1

2x+1

，
因為2^x＞0，所以2^x+1＞1，0＜

1

2x+1

＜1，從而-

1

2

＜f(x)＜

1

2

；
而c2-3c+3=(c-

3

2

)2+

3

4

≥

3

4

對任何實數c成立；
所以對任何實數x、c都有f（x）＜c²-3c+3成立．

點評：本題考查函數單調性與奇偶性的結合，考查函數的值域，考查學生的計算能力，屬于中檔題．