Question

已知函數f（x）=

ax

x2+b

（a，b∈R）在（-1，f（-1））處的切線方程為y=-2．
（Ⅰ）求函數f（x）的表達式；
（Ⅱ）當m滿足什么條件時，函數f（x）在區間（m，2m+1）上單調遞增？

Answer 1

分析：（Ⅰ）由求導公式和法則求出f′（x），再根據已知的切線方程，求出切線的斜率和切點的縱坐標，再列出方程求出a、b的值，代入解析式即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出f′（x），求出f′（x）≥0的解集，即函數的增區間，再由條件列出等價方程，求出m的范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題意得，f′(x)=

a(x2+b)-ax(2x)

(x2+b)2

，
∵函數f(x)=

ax

x2+b

在（-1，f（-1））處切線為y=-2，
∴

f′(-1)=0 f(-1)=-2.

，即

a(1+b)-2a=0 a 1+b =2.

解得

a=4 b=1.

∴f(x)=

4x

1+x2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′(x)=

4(x2+1)-8x2

(x2+1)2

=

-4(x-1)(x+1)

(x2+1)2

，
由f′（x）≥0得，-1≤x≤1，即f（x）的單調增區間是[-1，1]．
∵f（x）在區間（m，2m+1）上單調遞增，
∴

m≥-1 2m+1≤1 m＜2m+1.

，解得-1＜m≤0．
∴當m∈（-1，0]時，函數f（x）在區間（m，2m+1）上單調遞增．

點評：本題考查了導數的幾何意義，即在某點處的切線的斜率是該點處的導數值，切點在曲線上和切線上的應用，以及導數與函數單調性的關系，屬于中檔題．