Question

給出下列命題：
（1）若函數f（x）=2x²+1，圖象上P（1，3）及鄰近上點Q（1+△x，3+△y），則

△y

△x

=4+2△x；
（2）加速度是動點位移函數S（t）對時間t的導數；
（3）

1

3

lim

h→0

f(a+3h)-f(a)

h

=f′(a)；
其中正確的命題有（　　）

A．0個

B．1個

C．2個

D．3個

Answer 1

分析：（1）求函數在某點處的變化率

△y

△x

；（2）根據a=

v

t

，得知加速度應該是動點速度函數V（t）對時間t的導數；（3）

1

3

lim

n→∞

f(a+3h)-f(a)

h

=

lim

n→∞

f(a+3h)-f(a)

3h

=f′（a）．

解答：解：（1）∵f（x）=2x²+1，圖象上P（1，3）及鄰近上點Q（1+△x，3+△y），
∴△y=f（1+△x）-f（1）
=2+4△x+2（△x）²+1-2-1
=4△x+2（△x）²
∴

△y

△x

=4+2△x，故（1）正確；
（2）∵a=

v

t

，∴加速度應該是動點速度函數V（t）對時間t的導數，故（2）不正確；
（3）

1

3

lim

n→∞

f(a+3h)-f(a)

h

=

1

3

lim

n→∞

（3×

f(a+3h)-f(a)

3h

）
=

lim

n→∞

f(a+3h)-f(a)

3h

=f′（a），故（3）正確．
故選C．

點評：利用導數的定義求函數f（x）在x=x₀處的導數的方法：1．求函數的增量△y=f（x₀+△x）-f（x₀）；2．求平均變化率

△y

△x

；3．得到導數f′（x₀）=

lim

△x→0

△y

△x

．上述過程可以簡化為：一差、二比、三極限．