Question

定義在R上的函數f（x）滿足f（x+1）=-f（x），且函數y=f(x+

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)是偶函數又在區間(0，

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)上遞增．給出四個命題：
①函數f（x）是周期函數；
②函數f（x）是奇函數；
③函數f（x）圖象關于點（1，0）對稱；
④函數f（x）在區間(

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，3)上遞減．
其中所有正確命題的序號是

①②③④

．

Answer 1

分析：①由f（x+1）=-f（x），可得f[（x+1）+1]=f（x），由周期函數的定義可以判斷①的正誤；
②利用y=f(x+

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)是偶函數，采用換元法，結合周期性可判斷其奇偶性；
③設出y=f（x）上任意一點P（x₀，y₀）關于（1，0）的對稱點為P′（2-x₀，-y₀），由曲線關于點對稱的定義去判斷正誤；
④利用函數y=f(x+

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)是偶函數，又在區間(0，

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)上遞增，結合函數的周期性可以判斷其正誤．

解答：解：∵f（x+1）=-f（x），可得f（x+2）=f（x），∴函數f（x）是周期函數，①正確；
∵y=f(x+

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)是偶函數，∴f（-x+

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）=f(x+

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)，令-x+

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=t，有f（t）=f（1-t），∴有f（x）=f（1-x）；（1）
又f（x+1）=-f（x），∴f（-x+1）=-f（-x），（2），由（1）（2）得-f（-x）=f（x），即f（-x）=-f（x），
∴函數f（x）是奇函數；②正確；
設P（x₀，y₀）為y=f（x）上任意一點，點P關于（1，0）的對稱點為P′（2-x₀，-y₀），由①②正確可知，
f（2-x₀）=f（-x₀）=-f（x₀）=-y₀，即P′（2-x₀，-y₀）也在y=f（x）上，即函數f（x）圖象關于點（1，0）對稱，③正確；
∵函數y=f(x+

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)是偶函數，又在區間(0，

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)上遞增，∴f（x）在(

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2

，1)上遞減，又f（x+2）=f（x），∴函數f（x）在區間(

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，3)上遞減，④正確；
故答案為：①②③④．

點評：本題考查函數奇偶性的性質，難點在于對抽象函數y=f（x）函數奇偶性的判斷，考查學生的綜合分析與轉化能力，屬于難題．