Question

設(shè)x=-1是f（x）=（x²+ax+b）e^2-x（x∈R）的一個(gè)極值點(diǎn)，
（1）求a與b的關(guān)系式（用a表示b）并求f（x）的單調(diào)區(qū)間
（2）是否存在實(shí)數(shù)m，使得對(duì)任意a∈（-2，-1）及λ₁λ₂∈[-2，1]總有|f（λ₁）-f（λ₂）|＜[（m+2）a+1]e³恒成立，若存在求出m的范圍．若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）首要的是求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用已知函數(shù)在x=-1處取得極值，可以建立參數(shù)a，b的關(guān)系，從而利用a表達(dá)出b，另外x=-1是極值點(diǎn)可得a≠-4，因此要注意對(duì)a進(jìn)行討論：a＜-4和a＞-4，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)f（x）的值域，設(shè)存在實(shí)數(shù)m滿(mǎn)足題設(shè)，依題意有：[（m+2）a+1]e³＞e⁴-（a-2）e³恒成立，從而（m+3）a-e-1＞0恒成立，看成關(guān)于a的一次函數(shù)在[-2，1]上恒成立，建立關(guān)系式，解之即可．

解答：解：（1）f'（x）=-[x²+（a-2）x+b-a]e^2-x
由f'（-1）=0得b=2a-3…（2分）∴f（x）=（x²+ax+2a-3）e^2-x

f′(x)=-[x2+(a-2)x+a-3]e2-x=-(x+1)(x+a-3)e2-x 令f′(x)=0得x1=-1，x2=3-a

由于x=-1是f（x）的極值點(diǎn)，故x₁≠x₂，即a≠4
①當(dāng)a＜4時(shí)，x₂＞x₁，故[-1，3-a]為f（x）的單調(diào)增區(qū)間；（-∞，-1]、[3-a，+∞）為f（x）
的單調(diào)減區(qū)間．…（4分）
②當(dāng)a＞4時(shí)，x₂＜x₁，故[[3-a，-1]為f（x）的單調(diào)增區(qū)間；（-∞，3-a]、[-1，+∞）為f（x）的單調(diào)減區(qū)間…（6分）
（2）由-2＜a＜-1得4＜3-a＜5，從而知f（x）在[-2，-1]單調(diào)遞減，在[-1，1]上單調(diào)遞增，
f（x）的值域?yàn)閇f（-1），max{f（-2），f（1）}]=[（a-2）e³，e⁴]…（8分）
假設(shè)存在實(shí)數(shù)m滿(mǎn)足題設(shè)，依題意有：[（m+2）a+1]e³＞e⁴-（a-2）e³恒成立，
即（m+3）a-e-1＞0恒成立，…（12分）
令g（a）=（m+3）a-e-1，
則有

g(-2)≥0 g(-1)≥0

，解得

m≤- 1 2 (e+7) m≤-4-e

，即m≤-4-e
故存在實(shí)數(shù)m∈（-∞，-4-e]滿(mǎn)足題設(shè)．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)恒成立問(wèn)題和極值等有關(guān)問(wèn)題，是一道綜合題，屬于中檔題