Question

（2012•湛江二模）設x=1是函數f(x)=

x+b

x+1

e-ax的一個極值點（a＞0，e為自然對數的底）．
（1）求a與b的關系式（用a表示b），并求f（x）的單調區間；
（2）設m＞-1，若f（x）在閉區間[m，m+1]上的最小值為0，最大值為

1

2

e-a，求m與a的值．

Answer 1

分析：（1）因為x=1是函數f(x)=

x+b

x+1

e-ax的一個極值點，所以f′（1）=0，先將x=1代入f′（x），即可得a與b的關系式，再將f′（x）中的b用a代換，通過解不等式即可求得函數的單調區間．
（2）當-1＜m≤0時，由（1）知f（x）在閉區間[m，m+1]上是增函數，所以f（m）=0，且f（m+1）=

1

2

e-a，解方程無解；當m≥1時，由（1）知f（x）在閉區間[m，m+1]上是減函數，所以f（m+1）=0，解方程無解；當0＜m＜1時，由（1）知f（x）在區間[m，1]上是增函數，在區間[1，m+1]上是減函數，所以f（1）=

1

2

e-a，f（m）=0，解方程即可獲解

解答：解：（1）f′（x）=-

[ax2+(ab+a)x+ab+b-1]

(x+1)2

e-ax
由已知有：f′（1）=0，
∴a+（ab+a）+ab+b-1=0，
∴b=

1-2a

2a+1

（3分）
從而f′（x）=-

a(x-1)(x+ 2a+3 2a+1 )

(x+1)2

e-ax
令f′（x）=0得：x₁=1，x₂=-

2a+3

2a+1

．
∵a＞0∴x₂＜-1
當x變化時，f′（x）、f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，x2）	（x2，-1）	（-1，1）	（1，+∞）
f′（x）	-	+	+	-
f（x）	減函數	增函數	增函數	減函數

從上表可知：f（x）在(-∞，-

2a+3

2a+1

)，（1，+∞）上是減函數；
在(-

2a+3

2a+1

，-1)，（-1，1）上是增函數
（2）∵m＞-1，由（ I）知：
①當-1＜m≤0時，m+1≤1，f（x）在閉區間[m，m+1]上是增函數．
∴f（m）=0，且f（m+1）=

1

2

e-a．
化簡得：b=-m，

2

m+2

=eam．
又

2

m+2

＞1，e^am＜1．故此時的a，m不存在
②當m≥1時，f（x）在閉區間[m，m+1]上是減函數．
又x＞1時f(x)=

x+b

x+1

e-ax=

x-1+ 2 2a+1

x+1

e-ax＞0．其最小值不可能為0
∴此時的a，m也不存在                                    
③當0＜m＜1時，m+1∈（1，2）
則最大值為f（1）=

1

2

e-a，得：b=0，a=

1

2

又f（m+1）＞0，f（x）的最小值為f（m）=0，
∴m=-b=0．
綜上知：m=0.a=

1

2

點評：本題綜合考查了導數在函數單調性、極值、最值問題中的應用，考查了分類討論的思想，運算量和思維量都較大，解題時要細致運算，耐心討論