Question

設an=

1•2

+

2•3

+…+

n(n+1)

(n=1，2…)，
（1）證明不等式

n(n+1)

2

＜an＜

(n+1)2

2

對所有的正整數n都成立；
（2）設bn=

an

n(n+1)

(n=1，2…)，用定義證明

lim

n→∞

bn=

1

2

.

Answer 1

分析：（1）考慮a_n和式的通項

k(k+1)

，先對其進行放縮k＜

k(k+1)

＜

k+(k+1)

2

=

2k+1

2

，結合數列的求和公式即可證得；
（2）欲用定義證明

lim

n→∞

bn=

1

2

.即證對任意指定的正數ε，要使|bn-

1

2

|＜ε．

解答：證：（1）由不等式k＜

k(k+1)

＜

k+(k+1)

2

=

2k+1

2

對所有正整數k成立，把它對k從1到n（n≥1）求和，
得到1+2+3+…+n＜a_n＜

3

2

+

5

2

+…+

2n+1

2

又因1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，以及

3

2

+

5

2

+…+

2n+1

2

＜

1

2

[1+3+5+…+（2n+1）]=

(n+1)2

2

，
因此不等式

n(n+1)

2

＜an＜

(n+1)2

2

.
對所有的正整數n都成立．
（2）由（1）及b_n的定義知

1

2

＜bn＜

n+1

2n

=

1

2

+

1

2n

，于是|bn-

1

2

|=bn-

1

2

＜

1

2n

對任意指定的正數ε，要使|bn-

1

2

|＜ε，
只要使

1

2n

＜ε，即只要使n＞

1

2ε

.
取N是

1

2ε

的整數部分，則數列b_n的第N項以后所有的項都滿足|bn-

1

2

|＜ε
根據極限的定義，證得

lim

n→∞

bn=

1

2

.

點評：本題主要考查不等式的證明，主要采用了放縮法．放縮是一種重要的變形手段，但是放縮的對象以及放縮的尺度不易掌握，技巧性較強．