Question

設an=

1.2

+

2.3

+…+

n(n+1)

（n∈N×），比較a_n，

n(n+1)

2

，

(n+1)2

2

的大小，并證明你的結論．

Answer 1

分析：

n(n+1)

2

看成是正整數的和，利用不等關系

n(n+1)

＞

n×n

=n比較前面兩個的大小；利用不等關系

n(n+1)

＜

n+(n+1)

2

來比較后面兩個的大小．

解答：解：∵an=

1•2

+

2•3

+…+

n(n+1)

＞1+2+…+n=

n(n+1)

2

（5分）
又∵an=

1•2

+

2•3

+…+

n(n+1)

＜

1+2

2

+

2+3

2

+…+

n(n+1)

2

=

n(n+1)+n(N+3)

4

=

n2+2n

2

＜

(n+1)2

2

（11分）
∴

n(n+1)

2

＜a_n＜

(n+1)2

2

（12分）

點評：放縮法是不等式的證明里的一種方法，所謂放縮法，要證明不等式A＜B成立，有時可以將它的一邊放大或縮小，尋找一個中間量，如將A放大成C，即A＜C，后證C＜B，這種證法便稱為放縮法．